Wypukłość funkcji. Punkty przegięcia
Definicja 1: Funkcja wypukła
Funkcję nazywamy wypukłą (wypukłą ku dołowi) w przedziale \( I \), gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji \( f \) zawężonej do przedziału \( I \) leży powyżej lub na wykresie tej funkcji.
Definicja 2: Funkcja ściśle wypukła
Funkcję nazywamy ściśle wypukłą (ściśle wypukłą ku dołowi) w przedziale \( I \), gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji \( f \) zawężonej do przedziału \( I \) leży powyżej wykresu tej funkcji.
Uwaga 1:
Jeżeli funkcja jest ściśle wypukła, to jest też wypukła. Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.
Rys. 1 ilustruje definicję funkcji ściśle wypukłej (czyli również wypukłej) dla \( I=(a,b) \):
Na Rys. 2 przedstawiona została funkcja wypukła, która nie jest ściśle wypukła:
Definicja 3: Funkcja wklęsła
Funkcję nazywamy wklęsłą (wypukłą ku górze) w przedziale \( I \), gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji \( f \) zawężonej do przedziału \( I \) leży poniżej lub na wykresie tej funkcji.
Definicja 4: Funkcja ściśle wklęsła
Funkcję nazywamy ściśle wklęsłą (ściśle wypukłą ku górze) w przedziale \( I \), gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji \( f \) zawężonej do przedziału \( I \) leży poniżej wykresu tej funkcji.
Uwaga 2:
Jeżeli funkcja jest ściśle wklęsła, to jest też wklęsła. Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.
Definicję funkcji ściśle wklęsłej dla \( I=(a,b) \) ilustruje Rys. 3:
Na Rys. 4 przedstawiona została funkcja wklęsła, która nie jest ściśle wklęsła:
Twierdzenie 1: o wypukłości i wklęsłości funkcji w przedziale
Niech \( I \) będzie dowolnym przedziałem.
- Jeżeli dla każdego \( x\in I \): \( f^{\prime\prime}(x)>0 \), to funkcja jest ściśle wypukła w \( I \).
- Jeżeli dla każdego \( x\in I \): \( f^{\prime\prime}(x)\geqslant 0 \), to funkcja jest wypukła w \( I \).
- Jeżeli dla każdego \( x\in I \): \( f^{\prime\prime}(x)<0 \), to funkcja jest ściśle wklęsła w \( I \).
- Jeżeli dla każdego \( x\in I \): \( f^{\prime\prime}(x)\leqslant 0 \), to funkcja jest wklęsła w \( I \).
Uwaga 3:
Jeżeli \( f^{\prime\prime}(x)\geqslant 0 \) dla każdego \( x\in I \) i \( f^{\prime\prime}(x)=0 \) tylko dla skończonej ilości punktów \( x \), to funkcja jest ściśle wypukła na \( I \).
Przykład 1:
Wyznaczmy przedziały wypukłości funkcji \( f(x)=x^5 \).
Wnioskujemy stąd, że funkcja \( f \) jest ściśle wklęsła na przedziale \( (-\infty,0) \), a ściśle wypukła na przedziale \( (0,\infty) \).
Definicja 5: Punkt przegięcia
Niech \( f \) będzie funkcją ciągłą w \( O(x_0) \). Funkcja \( f \) ma punkt przegięcia w \( x_0 \), gdy spełniony jest jeden z warunków:
1. funkcja \( f \) jest ściśle wypukła w \( S(x_0^-) \) i ściśle wklęsła w \( S(x_0^+) \)
albo
2. funkcja \( f \) jest ściśle wklęsła w \( S(x_0^-) \) i ściśle wypukła w \( S(x_0^+) \).
Przykład 2:
Funkcja \( f(x)=x^3 \) jest ściśle wklęsła w przedziale \( (-\infty,0) \) a ściśle wypukła na przedziale \( (0,+\infty) \), zatem ma punkt przegięcia w \( x_0=0 \).
Twierdzenie 2: warunek konieczny istnienia punktu przegięcia
Jeżeli funkcja \( f \) ma punkt przegięcia w \( x_0 \) oraz istnieje pochodna rzędu drugiego funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \), to \( f^{\prime\prime}(x_0)=0 \).
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.
Uwaga 4:
Z warunku koniecznego możemy wywnioskować, że funkcja może mieć punkty przegięcia tylko w punktach zerowania się drugiej pochodnej lub w punktach, w których ta pochodna nie istnieje.
Przykład 3:
Dla funkcji \( f(x)=x^4 \) mamy:
Zauważmy, że choć w punkcie \( x=0 \) druga pochodna zeruje się, to funkcja \( f \) nie ma punktu przegięcia w \( x=0 \).
Twierdzenie 3: I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Jeżeli funkcja \( f \), jest ciągła w punkcie \( x_0 \) oraz istnieje \( \delta>0 \) taka, że zachodzi jeden z warunków:
1. \( f^{\prime\prime}(x)<0 \) dla każdego \( x\in S(x_0^-,\delta) \) oraz \( f^{\prime\prime}(x)>0 \) dla każdego \( x\in S(x_0^+,\delta) \),
albo
2. \( f^{\prime\prime}(x)>0 \) dla każdego \( x\in S(x_0^-,\delta) \) oraz \( f^{\prime\prime}(x)<0 \) dla każdego \( x\in S(x_0^+,\delta) \),
to funkcja \( f \) ma w \( x_0 \) punkt przegięcia.
Przykład 4:
Dla funkcji \( f(x)=x^3-1 \) mamy:
Zatem funkcja \( f \) ma punkt przegięcia w \( x=0 \).
Twierdzenie 4: II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Jeżeli funkcja \( f \) ma pochodną rzędu \( n \) w punkcie \( x_0 \) i spełnia warunki:
- \( f^{\prime\prime}(x_0)=f^{\prime\prime\prime}(x_0)=\dots=f^{(n-1)}(x_0)=0 \),
- \( f^{(n)}(x_0) \neq 0 \),
- liczba \( n \) jest nieparzysta i \( n\geqslant 3 \),
to w \( x_0 \) funkcja \( f \) ma punkt przegięcia.
Przykład 5:
Zbadajmy punkty przegięcia funkcji \( f(x)=(1-x)^5 \).
i \( 5 \) jest liczbą naturalną nieparzystą większą od 3.
Zatem funkcja \( f \) ma punkt przegięcia w \( x=1 \).